Aro

Matematiko > Aro

---

La nocio de la aro estas primara kaj oni ne difinas ĝin matematike. Aro prezentas kolekton da elementoj, difinebla per unu karakteriza eco, kiu ebligas distingi, ĉu unu elemento apartenas aŭ ne al tiu aro.

Oni signas arojn per latinaj majuskloj: A, B, C, D, .. kaj ĝiajn elementojn per minuskloj: a, b, c, d, ... La fakton ke a prezentas elementon de A, simbole oni skribas kiel a ∈ A (legu: a apartenas al A). La aro kies elementoj estas a, b, c, ... oni skribas jene: A={a; b; c; ...}, kaj la aro de tiuj elementoj, kiuj kontentigas ian P kondiĉon, oni skribas kiel {x ∈ A | P}. Ekzemple la aro de ĉiuj naturalaj nombroj kiuj estas malpli ol 100, signatas: {x ∈ N | x < 100}, kie N estas aro de naturalaj nombroj.

• La aro, kiu enhavas neniajn elementojn, nomiĝas malplena aro kaj estas signata per la simbolo ø. Ekzemple, la aro de homoj loĝantaj en la suno estas malplena.

• La aro A nomiĝas subaro de B, se ĉiuj elementoj de A apartenas al B kaj skribas: A ⊂ B. Ekzemple, se la A prezentas la aron de paralelogramoj, kaj B - la aron de ortanguloj, tiam A ⊂ B.

• Se A ⊂ B kaj B ⊂ A, tiam la aroj A kaj B estas egalaj kaj oni skribas: A=B.

• La aro de ĉiuj elementoj de la aroj A kaj B, kiuj apartenas almenaŭ al unu el du nomitaj aroj, nomiĝas kunaĵo de du aroj kaj signatas kiel A ∩ B.

• La aro de ĉiuj tiuj elementoj de A kaj B, kiuj apartenas samtempe al ambaŭ aroj, estas nomata komunaĵo de la aroj kaj signatas kiel A ∪ B.

Ekzemple, se A={1;2;3;4;5} kaj B={1;3;5;7}, tiam A ∪ B = {1;2;3;4;5;7} kaj A ∩ B ={1;3;5}

Se estas donita la aroj A kaj B, kaj la regulo, per kiu ni povas kunigi iajn parojn (a; b), kie a ∈ A kaj b ∈ B, oni diras ke estas donita konformeco inter A kaj B, kaj b estas nomata konforma al a. Ekz. inter A={1,5,10,14,20} kaj B={2,3,7} oni povas establi konformon per tia regulo: "al elemento de A konformas ĝia divizoro el B". Ĉi tiu konformo donas sekvajn parojn: (10;2), (14;2), (14;7), (20;2). Inter la du donitaj aroj povas ekzisti ankaŭ inversa konformo.

La konformeco inter A kaj B estas unu-al-unua konformeco, se plenumiĝas sekvaj du kondiĉoj:

1. al ĉiu a (a ∈ A) konformas la sola elemento el B;

2. ĉiu elemento el B estas konforma por la sola elemento el A.

Du aroj estas ekvivalentaj, se inter ili povas establi unu-al-unuan konformecon. Ekz. la aro de naturalaj nombroj {1;2;3;...} kaj la aro de paraj nombroj {2;4;6;...} estas ekvivalentaj, ĉar inter ili oni povas establi unu-al-unuan konformon laŭ regulo: "al ĉiu naturala nombro n konformu la paran nombron 2n".

La aroj povas esti ankaŭ finiaj (kun difinita nombro de elementoj) kaj nefiniaj (kun senfina nombro de elementoj).